Unit digit
Some important fact of unit digit
प्रश्न में कितनी भी बड़ी संख्या क्यों न हो हमे unit digit निकालने के लिए पूरी संख्या का नही बल्कि संख्या के इकाई अंक का ही प्रयोग करना है|
अगर इकाई अंक ( – ) में आए तो उसमे ( + 10 ) करना है उसके बाद जो result आएगा वही उतर होगा।
5 × विषम संख्या = इकाई अंक = 5
5 × सम संख्या = इकाई अंक = 0
0 , 1 , 5 और 6 का पावर कितना भी हो उसके इकाई स्थान पर समान संख्या ही आता है|
( 2 , 3 , 4 और 7 ) का पावर में हर 4 बार के बाद इकाई संख्या repeat होता है। इसलिए ( 2 , 3 , 4 और 7 ) का पावर अगर कोई 4 से बड़ी संख्या हो तो हम उसमे 4 से भाग देंगे और जो शेषफल बच जायेगा उसी को पावर में लिखकर दी हुई संख्या का पावर निकालकर इकाई अंक ज्ञात कर सकते है और अगर अंतिम दो अंक पूरी तरह 4 से विभाजित हो जाए कुछ भी शेष न बचे तो उस Condition में पावर में 4 ही लिखेंगे।
( 2 , 3 , 4 और 7 ) का पावर में हर 4 बार के बाद इकाई संख्या repeat होता है। इसलिए ( 2 , 3 , 4 और 7 ) का पावर अगर कोई 4 से बड़ी संख्या हो तो हम उसमे 4 से भाग देंगे और जो शेषफल बच जायेगा उसी को पावर में लिखकर दी हुई संख्या का पावर निकालकर इकाई अंक ज्ञात कर सकते है और अगर अंतिम दो अंक पूरी तरह 4 से विभाजित हो जाए कुछ भी शेष न बचे तो उस Condition में पावर में 4 ही लिखेंगे।
जैसे :- 2¹ = 2 2⁵ = 32
2² = 4 2⁶ = 64
2³ = 8 2⁷ = 128
2⁴ = 16 2⁸ = 256
यहां आप देख सकते है हर 4 बार पावर में गुना करने के बार इकाई संख्या repeat हो रहा है।
जैसे :- ( 12454 )¹²³⁴²
4 से विभाजित होने का नियम कहता है की जिस संख्या का अंतिम दो अंक 00 या 4 से विभाजित हो तो वह पूरी संख्या 4 से विभाजित होगा , तो हमे पावर का पूरी संख्या नही सिर्फ अंतिम का दो अंक देखना है।
अंतिम 2 अंक ( 42 ) में अगर 4 से भाग देते है तो शेष आएगा 2
दी हुई संख्या का इकाई अंक है 4 यानी ( 4 )² = 16 इकाई अंक = 6
4 का पावर अगर विषम संख्या हो तो इकाई स्थान पर 4 आता है और 4 का पावर अगर सम संख्या हो तो इकाई स्थान पर 6 आता है |
9 का पावर अगर विषम संख्या हो तो इकाई स्थान पर 9 आता है और 9 का पावर अगर सम संख्या हो तो इकाई स्थान पर 1 आता है|
Factorial को ( ! ) या या |___ लिखा जाता है|
power general या factorial के रूप में रहे तो और किसी संख्या के ईकाई स्थान पर 0 , 1 , 5 और 6 रहे तो उसके इकाई अंक में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
Factorial का मतलब अगर ( 10 ) का पावर !8 के रूप में रहे तो
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 का गुना 10 का पावर होगा
4 के बाद किसी भी factorial का इकाई अंक 0 होता है।
power अगर factorial के रूप में रहे तो और किसी संख्या के ईकाई स्थान पर 0 , 1 , 5 और 6 रहे तो उसके इकाई अंक में कोई परिवर्तन नहीं होगा और बाकी के संख्या हो तो अगर इकाई के स्थान पर विषम संख्या हो तो उसका इकाई अंक 1 होगा और अगर सम संख्या हो तो उसका इकाई अंक 6 होगा।
Questions with solution
1 - 124567 + 546789 + 765485 का इकाई अंक ज्ञात करे ?
Solution :-
हमे पूरी संख्या संख्या जोड़ने की जरूरत नहीं है सिर्फ संख्याओं के इकाई अंक को जोड़ देने से ही हमे उतर प्राप्त हो जायेगा।
7 + 9 + 5 = 21
इकाई अंक = 1 Ans.
2 - 12567 - 87652 का इकाई अंक ज्ञात करे ?
Solution :-
7 – 2 = 5 Ans.
3 - 12567 - 87659 का इकाई अंक ज्ञात करे ?
Solution :-
7 – 9 = -2
अगर इकाई अंक ( – ) में आए तो उसमे ( + 10 ) करना है उसके बाद जो result आएगा वही उतर होगा।
-2 + 10 = 8 Ans.
4 - 124567 × 546789 × 765485 का इकाई अंक ज्ञात करे ?
Solution :-
हमे पूरी संख्या संख्या गुना करने की जरूरत नहीं है सिर्फ संख्याओं के इकाई अंक को जोड़ देने से ही हमे उतर प्राप्त हो जायेगा।
7 × 9 = 63 इकाई अंक = 3
3 × 5 = 15
इकाई अंक = 5 Ans.
Or
7 × 9 × 5 = 215
इकाई अंक = 5 Ans.
5 - सभी विषम अभाज्य संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात कीजिए ?
Solution :-
विषम अभाज्य संख्या = 3 , 5 , 7 , 11 …………..
5 को सम संख्या को छोड़कर किसी भी संख्या में गुना करने पर इकाई स्थान 5 ही आता है और दिया गया प्रश्न में 5 है
5 Ans.
6 - सभी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात कीजिए ?
Solution :-
अभाज्य संख्या = 2 , 3 , 5 , 7 …………..
5 को सम संख्या के साथ संख्या में गुना करने पर इकाई स्थान 0 आता है और दिया गया प्रश्न में 5 है
0 Ans.
7 - यदि 733 × 674 × 54N का इकाई अंक N + 2 है तो N का मान ज्ञात करे ?
Solution :-
3 × 4 × N = N + 2
12 × N = N + 2
इसके बाद by option हमलोग N का मान आसानी से निकाल सकते है
अगर N = 2 ले तो
12 × 2 = 24 ( इकाई अंक = 4 ) और 2 + 2 ( इकाई अंक = 4 )
N = 2 Ans.
8 - ( 32³² )³² का इकाई अंक ज्ञात करे ?
Solution :-
हमे पूरी संख्या से नही बल्कि 32 में इकाई अंक 2 से मतलब है तो
32 × 32
( 2 )
अब अगर पावर का दोनो संख्या 4 से कट रहा है तो शेष 0 होगा और शेष 0 होने के condition में 0 के जगह 4 लिखा जाता है
( 2 )⁴ = 16
इकाई अंक = 6 Ans.
9 - ( 137¹³ )⁴⁷ का इकाई अंक ज्ञात करे ?
Solution :-
हमे पूरी संख्या से नही बल्कि 137 में इकाई अंक 7 से मतलब है तो
47 × 13
( 7 )
अब 47 में अगर 4 से भाग देते है तो शेष ( 3 ) होगा और 13 में 4 से भाग देते है तो शेष ( 1 ) होगा और चुकी दोनो संख्या गुना में है तो
( 1 × 3 ) = 3 ,
इकाई अंक हमे 3 प्राप्त होता है
7³ = 343 में इकाई अंक = 3 Ans.
10 - ( 92 ) का पावर !162 का इकाई अंक क्या होगा ?
Solution :-
हमे यह देखना है की प्रश्न में इकाई स्थान पर सम संख्या है या विषम संख्या है तो यहां सम संख्या है तो सम संख्या रहने पर इकाई स्थान पर संख्या 6 होता है।
6 Ans.
11 - ( 97 ) का पावर !162 का इकाई अंक क्या होगा ?
Solution :-
हमे यह देखना है की प्रश्न में इकाई स्थान पर सम संख्या है या विषम संख्या है तो यहां विषम संख्या है तो विषम संख्या रहने पर इकाई स्थान पर संख्या 1 होता है।
1 Ans.
12 - ( 97 ) का पावर !162 × ( 104 ) का पावर !264 × ( 232 ) का पावर !182 का इकाई अंक क्या होगा?
Solution :-
हमे यह देखना है की प्रश्न में इकाई स्थान पर सम संख्या है या विषम संख्या है तो यहां पर पहली संख्या में 7 का इकाई अंक विषम है तो 1 , दूसरी संख्या में इकाई अंक सम है तो 6 और तीसरी संख्या में इकाई अंक सम है तो 6 अब तीनों के इकाई अंक को आपस में गुना करने पर इकाई स्थान पर जो संख्या आएगा वही उतर होगा।
1 × 6 × 6 = 36 = 6 Ans.
11 - ( !97 ) का पावर !162 का इकाई अंक क्या होगा। ?
Solution :-
4 के बाद किसी factorial का इकाई अंक 0 होता है और 0 का पावर कितना भी रहे उसके अंक पर 0 ही होगा।
0 Ans.
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