Remainder Theorm

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Important Points Of Time And Work

कार्य क्षमता हमेशा एक दिन के सापेक्ष निकाला जाता है

1249 × 3785 × 4978 × 7837

1 – ————————————————- का शेष ज्ञात करे।

Solution :-

बारी बारी से सबमें 13 से भाग देंगे और शेषफल को गुना करेंगे और फिर 13 से भाग देंगे।

1 × 2 × 12 × 11

———————— > शेष = 4 Ans.

1249 + 3785 + 4978 + 7837

2 – ———————————————— का शेष ज्ञात करे।

Solution :-

1 + 2 + 12 + 11

———————— > शेष = 0 Ans.

1661 + 1551 + 1441 + 1331 + 1221

3 – ————————————————————— का शेष ज्ञात करे।

Solution :-

किसी संख्या में 20 से भाग देंगे पर उतना ही शेष आएगा जितना की संख्या के अंतिम दो अंक में भाग देने पर आएगा।

1 + 11 + 1 + 11 + 1 25

———————————— = ——— शेष = 5 Ans.

20 20

( 10 + 10² + 10³ + 10⁴ + 10⁵ )

4 – ————————————————— का शेष ज्ञात करे।

नोट :- 10 का पावर कुछ भी रहे अगर उसमे 6 से भाग देंगे तो शेष 4 आएगा और 6 का पावर कुछ भी रहे उसमे 10 से भाग देंगे तो शेष 6 आएगा 4 का पावर कुछ भी रहे उसमे 6 से भाग देंगे तो शेष 4 आएगा

Solution :-

4 + 4 + 4 + 4 + 4

——————————— > शेष = 2 Ans.

( 888 )²²² + ( 222 )⁸⁸⁸

5 – ———————————— का शेष ज्ञात करे।

Solution :-

888 में 3 से भाग देने पर शेष = 0 और 222 में भी 3 से भाग देने पर शेष = 0

अब ,

( 0 )²²² + ( 0)⁸⁸⁸

———————— > शेष = 0 Ans.

( 8 )¹⁷⁸⁵

6 – —————— का शेष ज्ञात करे।

Solution :-

( 1 )¹⁷⁸⁵

—————— > शेष = 1 Ans.

नोट :- अगर ऊपर का संख्या ( भाज्य ) नीचे के संख्या ( भाजक ) से 1 अधिक रहे और पावर में कोई भी संख्या हो तो शेष
1 होगा।

( 9 )¹⁹ + 6

7 – —————— का शेष ज्ञात करे।

Solution :-

( 1 )¹⁹ + 6 1 + 6 7

—————— = ————— = ———— > शेष = 7 Ans.

8 8 8

नोट :- जब ऊपर का संख्या ( भाज्य ) निचे के संख्या ( भाजक ) से कम रहे तो उस condition में पूरा पूरा भाग नही लगता हैं और शेष ऊपर की संख्या यानी भाज्य ही होता है।

( 19 )²⁰

8 – —————— का शेष ज्ञात करे।

नोट :- अगर ऊपर का संख्या ( भाज्य ) , नीचे के संख्या (भाजक ) से 1 कम रहे और पावर का संख्या सम संख्या हो तो शेष 1 होगा और अगर पावर का संख्या विषम संख्या हो तो शेष जो भाजक होगा वही हो जायेगा।

यहां पावर एक सम संख्या है तो शेष = 1 Ans.

( 2 )³³

9 – —————— का शेष क्या होगा।

Solution :-

2 का पावर कम से कम इतना लेना है की 10 से भाग लग जाए।

( 2⁴ )⁸ × 2 ( 16 )⁸ × 2 ( 6 )⁸ × 2 6 × 2

—————— = —————— = —————— = ———— > 2 Ans

10 10 10 10

नोट :- पीछे के प्रश्न में हमलोग पढ़ चुके है की 6 का पावर कुछ भी हो अगर उसमे 10 से भाग देंगे तो शेष 6 ही आएगा।

( 3 )²¹

10 – ———— का शेष क्या होगा।

Solution :-

3 का पावर कम से कम इतना लेना है की 5 से भाग लग जाए।

( 3² )¹⁰ × 3 ( 9 )¹⁰× 3 ( 4 )¹⁰ × 3 1 × 3

—————— = —————— = —————— = ————— > 3 Ans

5 5 5 5

नोट :- पीछे के प्रश्न में हमलोग पढ़ चुके है की भाज्य अगर भाजक से 1 कम हो और पावर का संख्या एक सम संख्या हो तो शेष 1 होता है।

( 5 )⁵⁰¹

11 – ———— का शेष क्या होगा।

126

Solution :-

( 5 )⁵⁰¹ ( 5³ )¹⁶⁷ ( 125 )¹⁶⁷

———— = ———— = ———— = शेष = 125 Ans.

126 126 126

नोट :- पीछे के प्रश्न में हमलोग पढ़ चुके है की भाज्य अगर भाजक से 1 कम हो और पावर का संख्या एक विषम संख्या हो तो जो भाज्य का जो base होता है वही शेष भी होगा।

( 31 )¹²⁷

12 – ———— का शेष क्या होगा।

Solution :-

31 में 8 से भाग देंगे तो शेष 7 आएगा अब भाज्य , भाजक से 1 कम वाला format में प्रश्न आ गया

= 7 Ans.

( 9 )⁸ – 2

13 ——————— का शेष क्या होगा।

Solution :-

( 1 )⁸ – 2 1 – 2

————— = ———— = शेष = 7 Ans.

8 8

नोट :- अगर भाज्य ( – ) में हो तो भाजक में से भाज्य को घटा देंगे वही शेष होगा।

( 39 )!⁹³

14 – ———— का शेष क्या होगा।

Solution :-

नोट :- केवल !1 का value विषम संख्या होता है बाकी सब का सम संख्या होता है तो यहां पर भाज्य , भाजक से 1 कम है पावर का संख्या एक सम संख्या है तो शेष 1 होगा।

शेष = 1 Ans.

!1 + !2 + !3 + !4 …………….. !99

15 – ——————————————————— का शेष क्या होगा।

Solution :-

हमे शुरुआत से लेकर तब तक भाग देना है जब तक की शेष ( 0 ) न आ जाए शेष ( 0 ) आ जाने के बाद आगे की संख्या में भाग देने की ज़रूरत नही है क्योंकि उसके आगे भी शेष 0 ही आएगा

1 + 2 + 6 + 24 1 + 2 + 6 + 0

————————— = ————————— = शेष = 9 Ans.

12 12

62 × 63 × 64

16 – ———————— का शेष ज्ञात करे।

नोट :- यहां हमलोग Reverse Remainder का इस्तेमाल करेंगे 66 में भाग देंगे 62 से , 63 से और 64 से और शेष ( – ) में लिखेंगे।

-4 × -3 × -2 -24

——————— = ——— = शेष = 42 Ans.

66 66

( 32 ³² )³²

17 – ——————— का शेष क्या होगा।

नोट :- प्रश्न में कोई भी संख्या दिया हो और पावर कितना भी हो हमे पहला पावर को same वैसे ही लिखना है और दूसरा पावर अगर सम संख्या हो तो 2 लिखना है और विषम संख्या हो तो 1 लिखना है , पावर चाहे जितना भी हो हमे सिर्फ दूसरा पावर ही देखना है।

Solution :-

( 32³² )² ( 32 )¹⁰²⁴ ( 4³ )³⁴¹ × 4

——————— = ——————— = —————————

7 7 7

( 64 )³⁴¹ × 4 1 × 4

———————— = —————— = शेष = 4 Ans.

7 7

1234568910……………….99

18 – ——————————————— का शेष क्या होगा।

Solution:-

किसी संख्या के अंतिम 3 अंक में 8 से भाग देने पर वही शेष आता है जो पूरी संख्या में भाग देने से आएगा।

दी हुई संख्या को अगर अंतिम से पूरा करते हैं तो

979899 899

—————— = ——— = शेष = 3 Ans.

8 8

19 - 1 से शुरू करके लगातार क्रम में बनी संख्या को लिखने पर 87 अंको वाली संख्या में अगर 8 से भाग दे तो शेष क्या होगा।

नोट :- कोई भी अंको वाली संख्या का निकालने के लिए कितना तक लिखना होगा ये पता करने के लिए जितना अंको वाली संख्या लिखना है उसमे से 9 घटाएंगे और 2 से भाग देंगे उसके बाद जो भागफल आएगा उसको 9 में जोड़ देंगे जो Result आएगा उतना ही तक हमे लिखना है।

Solution:-

यह 87 अंको वाली संख्या लिखना है तो

87 – 9 = 78/2 = 39 + 9 = 46

अगर हम 1 से 46 तक लगातार लिख दे तो वह 87 अंको की संख्या बन जायेगी।

संख्या = 123446………46

दी हुई संख्या को अगर अंतिम से पूरा करते हैं तो

444446 446

—————— = ————— = शेष = 6 Ans.

8 8

20 - 1 से शुरू करके लगातार क्रम में बनी संख्या को लिखने पर 92 अंको वाली संख्या में अगर 8 से भाग दे तो शेष क्या होगा।

Solution:-

लेकिन यहां हम 92 के जगह 91 अंको वाली संख्या निकलकर संख्या में बाद वाली एक संख्या जोड़ दे तो 92 अंको वाली संख्या बन जायेगी। क्योंकि अगर हम 92 – 9 करते है तो 83 आएगा जो की 2 से पूरी तरह विभाजित नही होगा।

91 – 9 = 82 / 2 = 41 + 9 = 50

संख्या = 1234567891011……………50

ये संख्या 91 अंको वाली है अगर हम यह 50 के बाद 51 आता तो 51 का 5 इस संख्या ने जोड़ दे तो यह संख्या 92 अंको वाली बन जायेगी उसके बाद अंतिम 3 अंक में 8 से भाग देकर शेष ज्ञात कर लेंगे।

505

——— = शेष = 1 Ans.

21 - ( 8 )³³ - ( 2 )³³ किस संख्या से विभाजित होगा।

n n

नोट :- अगर प्रश्न ( x ) – ( a ) के form में हो तो ( x – a ) से हमेशा विभाजित होगा ।

8 – 2 = 6 Ans

22 - ( 17 )³² - ( 8 )³² किस संख्या से विभाजित होगा।

n n

नोट :- अगर प्रश्न ( x ) – ( a ) के form में हो और ( n ) सम संख्या हो तो ( x + a ) से भी विभाजित होगा।

17 + 8 = 25 Ans.

23- ( 17 )³³ + ( 8 )³³ किस संख्या से विभाजित होगा।

n n

नोट :- अगर प्रश्न ( x ) + ( a ) के form में हो और ( n ) विषम संख्या हो तो ( x + a ) से विभाजित होगा।

17 + 8 = 25 Ans.

4n 3n

24 – ( 3 ) – ( 4 ) किस से विभाजित होगा।

solution :-

n n

81 – 64 = 81 – 64 = 17 Ans.

25 - ( 1000 )⁵⁰⁰⁰ - 1 किस से विभाजित होगा।

Solution :-

अगर हम ( 1 )⁵⁰⁰⁰ लिख दे तो मान में कोई अंतर नही आएगा अब प्रश्न ( 1000 )⁵⁰⁰⁰ – ( 1 )⁵⁰⁰⁰ बन गया।

1000 – 1 = 999 Ans.

1000 + 1 = 1001 Ans. ( चुकी पावर एक सम संख्या है।

26 - ( 7 )¹² - ( 4 )¹² किस संख्या से विभाजित होगा।

Solution :-

7 – 4 = 3 Ans.

7 + 4 = 11 Ans.

यह संख्या 3 और 11 दोनो से विभाजित होगा और अगर option में 3 और 11 ना रहे तो यह संख्या 3 और 11 का LCM33 से भी कटेगा

27 - यदि व्यंजक x³ + 4x² + 4x + k का एक गुणनखंड x + 4 है तो k का मान ज्ञात कीजिए।

Solution :-

X + 4 = 0

x = -4

अब x का value समीकरण में रख देंगे उसके बाद solution करने में बाद जो result आएगा वही उतर होगा।

( -4 )³ + 4 × (-4 )² + 4 ( -4 ) + k = 0

-64 + 64 – 16 + k = 0

k = 16 Ans.

28 - ( x )¹¹ + 1 को ( x + 1 ) से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा।

Solution :-

x + 1 = 0 , x = -1

( -1 )¹¹ + 1 = 0 Ans.

29 - 3x³ - 2x²y - 13xy² + 10y³ को ( x - 2y ) से भाग देने पर शेष क्या होगा।

Solution :-

x – 2y = 0 , x = 2y

3 × ( 2y³ ) – { 2 × ( 2y² ) × y } – ( 13 × 2y × y² ) + 10y³

24y³ – 8y³ – 26y³ + 10y³ = 0 Ans.

30 - x³ - 5x² + 10k को x² + 2 से भाग देने पर शेष यदि -2x बचे तो k का मान ज्ञात करे।

Solution :-

X² + 2 = 0 , x² = -2

( -2 ) x X – 5 × ( -2 ) + 10k = -2x

-2x + 10 + 10k = -2x

K = 1 Ans.

31 - x⁶ + 4x³ + 5 को ( x³ - 2 ) से भाग देने पर शेष क्या होगा।

Solution :-

x³ – 2 = 0 , x³ = 2

( x³ )² + 4x³ + 5 = 0

( 2 )² + 8 + 5 = 17 Ans.

32 - यदि व्यंजकों px³ + 3x² - 3 और 2x³ - 5x + p को x - 4 से विभाजित किया जाता है तो दोनो का शेष समान है तो p का मान ज्ञात करे।

Solution :-

x – 4 = 0 , x = 4

64p + 48 – 3 = 128 – 20 + P

P = 0 Ans.