Divisors , prime factor and binary number system
1 - 150 के सभी भाजको ( गुणनखंडो ) की संख्या ज्ञात करे।
Solution : –
सबसे पहले 150 को हम अभाज्य गुणनखंड में तोड़ेंगे उसके बाद उसको अरेंज करेंगे मतलब जितनी संख्या जितनी बार आएगी उसे उसके power के रूप में सजाएंगे उसके बाद हमें उसके base से कोई मतलब नहीं रह जायेगा, हम प्रत्येक संख्या के power में अपने मन से एक जोड़ेंगे और उसके बाद सभी संख्याओं के power को आपस में गुना कर देंगे फिर जो result आएगा वही 150 के भजको का संख्या होगा।
2 | 150
———
3 | 75
———
5 | 25
———
| 5
2¹ × 3¹ × 5² = 1 + 1 × 1 + 1 × 2 + 1 = 2 × 2 × 3 = 12 Ans.
2 - 150 के शुद्ध भाजको की संख्या ज्ञात करे।
Solution : –
ऊपर हमलोग 150 के सभी भाजक निकाल चुके है अब सभी भाजकों में 2 घटा दे तो हमे शुद्ध भाजक प्राप्त होगा।2 इसलिए घटाया जाता है क्योंकि कोई भी संख्या 1 और स्वयं से कट जाती है इसलिए ये दो गुणनखंड शुद्ध भाजक में count नही होता है।
12 – 2 = 10 Ans.
3 - ( 75 )⁸ के गुणनखंडो की संख्या ज्ञात करे।
Solution : –
( 75 )⁸ = ( 3¹ × 5² )⁸
3⁸ × 5¹⁶ = 8 + 1 × 16 + 1 = 153 Ans.
4 - ( 162 )¹⁵ के गुणनखंडों की संख्या और अभाज्य गुणनखंडो की संख्या ज्ञात करे।
Solution : –
2 | 162
———
3 | 81
———
3 | 27
———
3 | 9
( 162 )¹⁵ = ( 2¹ × 3⁴ ) ¹⁵ = 2¹⁵ × 3⁶⁰ = 15 + 1 × 60 + 1 =
15 × 61 = 915 Ans.
5 - ( 35 )⁵ × ( 21 )⁶ के गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करे।
Solution : –
( 5¹ × 7¹ )⁵ × ( 3¹ × 7¹ )⁶
5⁵ × 7⁵ × 3⁶ × 7⁶ = 5⁵ × 7¹¹ × 3⁶ = 5 + 1 × 11 + 1 × 6 + 1 =
6 × 12 × 7 = 504 Ans.
6 - 360 के सम भाजको की संख्या ज्ञात करे।
Solution : –
2 | 360
———
2 | 180
———
2 | 90
———
3 | 45
———
3 | 15
———
5
360 = 2³ × 3² × 5¹
सम भाजको की संख्या निकालने के लिए सिर्फ 2 के पावर में 1 नही जोड़ेंगे बाकी सब के पावर में 1 जोड़कर आपस में गुना करेंगे।
3 × 2 + 1 × 1 + 1 = 3 × 3 × 2 = 18 Ans.
7 - 360 के विषम भाजको की संख्या ज्ञात करे।
Solution : –
2 | 360
———
2 | 180
———
2 | 90
———
3 | 45
———
3 | 15
———
5
360 = 2³ × 3² × 5¹
विषम भाजाको की संख्या निकालने के लिये 2 का base और पावर का इस्तेमाल नही करेंगे बाकी संख्या के base को छोड़कर पावर में 1 जोड़कर आपस में गुना करेंगे।
2 + 1 × 1 + 1 = 3 × 2 = 6 Ans.
8 - ( 2¹⁰ × 6⁷ × 3⁸ × 5¹⁷ ) का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करे।
सबसे पहले हम जो संख्या अभाज्य संख्या के रूप में नहीं है उस संख्याओं को अभाज्य संख्या में तोड़ेंगे उसके बाद power को आपस में जोड़ देंगे जो result आएगा वह अभाज्य गुणनखंडो की संख्या होगा।
( 2¹⁰ × 3 ⁷ × 2⁷ × 3⁸ × 5¹⁷ ) = 49 Ans.
9 - 162 अभाज्य गुणनखंडो की संख्या ज्ञात करे।
Solution : –
2 | 162
———
3 | 81
———
3 | 27
———
3 | 9
———
3
162 = 2¹ × 3⁴ = 5 Ans.
10 - 96 के सभी भाजको ( गुणनखंडों ) का योग ज्ञात करे।
Solution : –
हमे हर संख्या का जितना पावर रहे वहा तक शुरू से पावर लेकर जितना पावर है वहा तक जाना है जैसे 2⁵ तक जाना है तो 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵
2 | 96
———
2 | 48
———
2 | 24
———
2 | 12
———
2 | 6
———
| 3
———
96 = 2⁵ × 3¹ = 2⁰ +2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ × 3⁰ + 3¹
( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 × 1 + 3 )
63 × 4 = 252 Ans.
Note : – किसी भी संख्या का पावर 0 हो तो उसका मान 1 होता है
11 - 96 के सभी सम भाजको ( गुणनखंडों ) का योग ज्ञात करे।
Solution : –
सम भाजको की संख्या निकालने के लिए 2⁰ से नही 2¹ से शुरू करना है
2 | 96
———
2 | 48
———
2 | 24
———
2 | 12
———
2 | 6
———
| 3
———
96 = 2⁵ × 3¹ =( 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ ) ×( 3⁰ + 3¹ )
( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 × 1 + 3 )
62 × 4 = 248 Ans.
12 - 96 के सभी सम भाजको ( गुणनखंडों ) का योग ज्ञात करे।
Solution : –
विषम भाजको की संख्या निकालने के लिए 2 का use नहीकरना है बाकी सबका use करना है।
2 | 96
———
2 | 48
———
2 | 24
———
2 | 12
———
2 | 6
———
| 3
———
96 = 3⁰ + 3¹ = 1 + 3 = 4 Ans.
13 - 96 के ऐसे कितने गुणनखंड है जो की एक पूर्ण वर्ग है।
solution : –
हमे हर संख्या के पावर तक पहुंचना है लेकिन alternet जैसे 2⁵ तक जाना है तो 2⁰ + 2² + 2⁴
2 | 96
———
2 | 48
———
2 | 24
———
2 | 12
———
2 | 6
———
| 3
———
96 = 2⁵ × 3¹ = ( 2⁰ + 2² + 2⁴ ) × ( 3⁰ )
( 1 + 4 + 16 ) × ( 1 )
21 × 1 = 21 Ans
14 - 200 तक में 9 से विभाजित होने वाली संख्या ज्ञात करे।
Solution : –
200 / 9 = 19 Ans. ( पूर्णाक नही लिखना है )
15 - 500 से 1300 तक 9 से विभाजित होने वाली संख्या ज्ञात करे।
Solution :-
अगर प्रश्न में ( तक ) रहे तो पहले वाला संख्या में से 1 घटाना है और अगर ( के बीच ) रहे तो बाद वाला संख्या में से 1 घटाना है और जिस संख्या से विभाजित करने के लिए बोले उससे भाग देकर बड़ा में से छोटा को घटा देना है।
500 – 1 1300
————— – ———— = 55 – 144 = 89Ans.
9 9
16 - 800 से 1500 के बीच 16 से विभाजित होने वाली संख्या ज्ञात करे।
Solution : –
अगर प्रश्न में ( तक ) रहे तो पहले वाला संख्या में से 1 घटाना है और अगर ( के बीच ) रहे तो बाद वाला संख्या में से 1 घटाना है और जिस संख्या से विभाजित करने के लिए बोले उससे भाग देकर बड़ा में से छोटा को घटा देना है।
800 1500 – 1
————— – ————— = 50 – 93 = 43 Ans.
16 16
17 - 500 से 1300 के बीच 2 , 3 और 5 से विभाजित होने वाली संख्या और विभाजित नही होने वाली संख्या ज्ञात करे।
Solution :-
अगर प्रश्न में ( तक ) रहे तो पहले वाला संख्या में से 1 घटाना है और अगर ( के बीच ) रहे तो बाद वाला संख्या में से 1 घटाना है और जिस संख्या से विभाजित करने के लिए बोले उससे भाग देकर बड़ा में से छोटा को घटा देना है और अगर 1 से अधिक संख्या विभाजित करने वाली हो तो उसका LCM निकाल लेंगे उसके बाद दोनो संख्याओं के बीच के संख्या में से कटने वाली संख्या को घटा देंगे तो नही कटने वाली संख्या निकाल जायेगा।
500 1300 – 1
————— – ———— = 16 – 43 = 27 Ans.
30 30
18 - 500 से 1300 तक 9 से विभाजित होने वाली संख्या ज्ञात करे।
Solution :-
अगर प्रश्न में ( तक ) रहे तो पहले वाला संख्या में से 1 घटानाहै और अगर ( के बीच ) रहे तो बाद वाला संख्या में से 1 घटाना है और जिस संख्या से विभाजित करने के लिए बोले उससे भाग देकर बड़ा में से छोटा को घटा देना है। उसके बाद दोनो संख्याओं के बीच के संख्या में से कटने वाली संख्या को घटा देंगे तो नही कटने वाली संख्या निकाल जायेगा।
500 – 1 1300
————— – ———— = 55 – 144 = 89Ans.
9 9
500 से 1300 तक संख्याओं की संख्या = 801
801 – 89 = 712 Ans.
.
19 - 800 से 1300 के बीच ऐसी कितनी संख्या है जिसे 16 से विभाजित करने पर 3 शेष बचे
Solution :-
अगर प्रश्न में ( तक ) रहे तो पहले वाला संख्या में से 1 घटाना है और अगर ( के बीच ) रहे तो बाद वाला संख्या में से 1 घटाना है और जिस संख्या से विभाजित करने के लिए बोले उससे भाग देकर बड़ा में से छोटा को घटा देना है
800 1300 – 1
————— – ————— = 50 – 93= 43 Ans.
16 16
जितनी संख्या दी हुई संख्या से विभाजित होगा उतना ही प्रश्न में दिया हुआ शेष बचेगा सिर्फ अंतिम संख्या को देखना होगा अगर अंतिम संख्या दी हुई संख्या के बीच से बाहर चला जाए तो कुल में से 1 घटाकर उतर होगा
42 संख्या ऐसी है जिसे 16 से भाग देने पर 3 शेष बचेगा।
20 - 500 तक 9 से विभाजित होने वाली संख्याओं का योगफल क्या होगा।
Solution :-
योगफल = औसत × पदो की संख्या = A.v × N
प्रथम पद + अंतिम पद
औसत = ——————————
2
9 + 495
औसत = ————— = 252
2
अंतिम पद – प्रथम पद
पदो की संख्या ( N ) = —————————— + 1
सार्वअंतर
495 – 9
पदो की संख्या ( N ) = —————— + 1 = 55
9
योगफल = औसत × पदो की संख्या = A.v × N
252 × 55 = 13860 Ans.
21 - 16 को द्विधारी अंकन पद्धति ( binary number system )के रूप में निरूपित करे।
Solution :-
दाएं ओर से बाएं ओर की तरफ 1 से शुरुआत करना है और दुगुना कर कर कर उस नंबर तक पहुंचना है जो प्रश्न में दिया हुआ हो उसके बाद उस संख्या के बदले 1 लिखना है जिसकोजोड़ने पर प्रश्न में दिया हुआ संख्या आ जाए।
16 8 4 2 1
( 10000 ) और निचे पावर में 2 Ans.
22 - द्विधारी पद्धति की संख्या ( 100100 ) के निचे पावर में 2 का दाशमिक मान क्या है।
Solution :-
दाएं ओर से बाएं ओर की तरफ 1 से शुरुआत करना है और दुगुना कर कर कर उस नंबर तक पहुंचना है जो प्रश्न में दिया हुआ हो उसके बाद जिस संख्या के स्थान पर 1 आए उसको जोड़ देना है।
1 0 0 1 0 0
32 16 8 4 2 1
32 + 4 = 36 Ans.
23 - 29.125 को द्विधारी अंकन पद्धति ( binary number system )के रूप में निरूपित करे।
Solution :-
सबसे पहले जिससे द्विधारी अंकन पद्धति जैसे निकालते है वैसे 29 का निकालेंगे उसके बाद दशमलव देंगे फिर दशमलव के बाद जितना संख्या होगा उसको ×2 करेंगे उसके बाद जितना स्थान के बाद प्रश्न में दशमलव रहेगा उतना स्थान के बाद दशमलव लिखेंगे फिर दशमलव के पहले जो संख्या होगा उसको दशमलव के बाद लिखेंगे और तब तक ×2 करते रहेंगे जब तक की value 0 ना हो जाए।
16 8 4 2 1
11101.001 Ans.
.125 × 2 = .250 ( दशमलव के एक अंक पहले कुछ नही
मतलब 0 है तो 0 लिखेंगे )
.250 × 2 = .500
.500 × 2 = 1.000
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